Алгебра — тетрадь к контрольной

тема 1

Деление многочленов уголком

Делим так же, как числа в столбик: старший член делимого делим на старший член делителя, результат умножаем на весь делитель и вычитаем. Повторяем, пока степень остатка не станет меньше степени делителя.

Разбор: (x³ + 6x² − 7x − 60) : (x − 3)

1

x³ : x = x²

Смотрим только на старшие члены. Это первый кусок ответа.

2

x² · (x − 3) = x³ − 3x² x³ + 6x² − (x³ − 3x²) = 9x²

Умножили на весь делитель и вычли. Знак у −3x² переворачивается: минус на минус даёт плюс, поэтому 6x² + 3x² = 9x².

3

9x² : x = 9x 9x · (x − 3) = 9x² − 27x −7x − (−27x) = 20x

Снесли следующий член и повторили тот же круг: делим, умножаем, вычитаем.

4

20x : x = 20 20 · (x − 3) = 20x − 60 остаток 0

Остаток ноль — значит поделилось нацело.

Ответ: x² + 9x + 20, остаток 0. Значит x³ + 6x² − 7x − 60 = (x − 3)(x² + 9x + 20).

так неверно−7x − (−27x) = −34x

так верно−7x + 27x = 20x

Попробуй сам: раздели (2x³ − 3x² − 11x + 6) на (x − 3).

тема 2

Теорема Безу

Остаток от деления многочлена P(x) на (x − a) равен P(a). Делить необязательно — достаточно подставить число. И наоборот: если P(a) = 0, то (x − a) делит нацело, а a — корень.

Разбор: остаток от деления x³ − 4x + 1 на (x − 2)

1

a = 2

В скобке стоит минус, значит берём число как есть.

2

P(2) = 2³ − 4·2 + 1 = 8 − 8 + 1 = 1

Это и есть остаток. Деление уголком дало бы то же самое, только дольше.

Ответ: остаток 1.

Главное применение: разложить кубический многочлен

1

x³ − 2x² − 5x + 6, свободный член 6 проверяем делители: ±1, ±2, ±3, ±6

Целый корень может быть только среди делителей свободного члена — перебор короткий.

2

P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 → x = 1 корень

Нашли корень — значит делится на (x − 1).

3

(x³ − 2x² − 5x + 6) : (x − 1) = x² − x − 6 x² − x − 6 = 0 → по Виета корни 3 и −2

Дальше обычное квадратное. Кубическое разложилось: (x − 1)(x − 3)(x + 2).

Корни: 1, 3, −2.

так невернодля (x + 3) подставить 3

так верно(x + 3) = (x − (−3)) → подставить −3

Попробуй сам: остаток от деления x³ + 6x² − 7x − 60 на (x − 3).

тема 3

Теорема Виета

Для x² + px + q: сумма корней = −p, произведение = q. Если старший коэффициент не единица, ax² + bx + c: сумма = −b/a, произведение = c/a.

Прямая задача: найти корни без дискриминанта

1

x² + 9x + 20 = 0 сумма = −9, произведение = 20

Знак суммы всегда противоположен коэффициенту при x.

2

произведение 20 → пары: 1·20, 2·10, 4·5 нужна сумма −9 → оба числа отрицательные → −4 и −5

Перебираем пары делителей произведения и смотрим, какая даёт нужную сумму.

Корни: −4 и −5.

Обратная задача: собрать уравнение по корням

1

корни 2 и −7 p = −(2 + (−7)) = 5, q = 2 · (−7) = −14

Сумму берём с обратным знаком, произведение — как есть.

Уравнение: x² + 5x − 14 = 0.

так неверноx² − 7x + 12 → сумма −7

так верносумма = −(−7) = 7, корни 3 и 4

Попробуй сам: корни уравнения x² + px + q равны 2 и −7. Чему равно q?

тема 4

Рациональные уравнения

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Поэтому сначала выписываем запреты, а в конце выбрасываем корни, которые в них попали.

1 · запреты: знаменатель ≠ 0 2 · привести к общему знаменателю 3 · решить числитель 4 · выбросить запрещённые корни

Разбор: x²/(x + 2) + 1 = 4/(x + 2)

1

x + 2 ≠ 0 → x ≠ −2

Это пишем сразу, до всех преобразований, иначе забудем.

2

умножаем всё на (x + 2): x² + (x + 2) = 4

Знаменатели исчезли — дальше обычное квадратное.

3

x² + x − 2 = 0 → корни 1 и −2

По Виета: сумма −1, произведение −2.

4

x = −2 запрещён → остаётся x = 1

Вот здесь теряют балл чаще всего: корень получился, но он обнуляет знаменатель.

Ответ: x = 1.

так невернозаписать оба корня: 1 и −2

так верно−2 выбрасываем, ответ только 1

Попробуй сам: (x² − 9)/(x − 3) = 0.

тема 5

Метод интервалов

Переносим всё влево, чтобы справа остался ноль, раскладываем на множители, отмечаем точки на прямой и расставляем знаки, двигаясь справа налево.

1 · ноль справа 2 · разложить на множители 3 · точки на прямой 4 · знаки справа налево

Разбор: (x − 1)(x + 3)/(x − 2) ≥ 0

1

точки: −3, 1 (из числителя), 2 (из знаменателя)

Нули числителя при знаке ≥ закрашиваем, нули знаменателя — всегда выколотые.

2

−3 1 2 −+−+

Справа знак плюс, дальше чередуется на каждой точке: + − + −, если читать справа налево.

3

берём промежутки со знаком + (неравенство ≥ 0)

Закрашенные точки входят в ответ, выколотая двойка — нет.

Ответ: [−3; 1] ∪ (2; +∞).

Если множитель стоит в чётной степени, например (x − 2)², знак в этой точке не меняется — прямая как будто «отскакивает» от оси.

так невернопри ≥ закрасить точку из знаменателя

так вернонули знаменателя выколоты при любом знаке

Попробуй сам: (x + 4)/(x − 1) < 0.

перед уроком

Чек-лист за пять минут

Делю уголком — вычитаю всю строку целиком, знаки меняются у каждого члена.
Скобка (x + a) — подставляю −a, а не a.
Ищу корень кубического — перебираю делители свободного члена.
Виета: сумма = −p, произведение = q.
В уравнении с дробью сначала пишу запреты, в конце выбрасываю лишние корни.
В интервалах: нули знаменателя всегда выколоты, чётная степень знак не меняет.
Ответ неравенства записываю промежутками, объединяю знаком ∪.

удачи. знаешь эти семь строк — сдашь